Метод итераций. Численные методы: решение нелинейных уравнений Примеры численного решения систем нелинейных уравнений

Метод простой итерации, называемый также методом последовательного приближения, - это математический алгоритм нахождения значения неизвестной величины путем постепенного ее уточнения. Суть этого метода в том, что, как видно из названия, постепенно выражая из начального приближения последующие, получают все более уточненные результаты. Этот метод используется для поиска значения переменной в заданной функции, а также при решении систем уравнений, как линейных, так и нелинейных.

Рассмотрим, как данный метод реализуется при решении СЛАУ. Метод простой итерации имеет следующий алгоритм:

1. Проверка выполнения условия сходимости в исходной матрице. Теорема о сходимости: если исходная матрица системы имеет диагональное преобладание (т.е, в каждой строке элементы главной диагонали должны быть больше по модулю, чем сумма элементов побочных диагоналей по модулю), то метод простых итераций - сходящийся.

2. Матрица исходной системы не всегда имеет диагональное преобладание. В таких случаях систему можно преобразовать. Уравнения, удовлетворяющие условию сходимости, оставляют нетронутыми, а с неудовлетворяющими составляют линейные комбинации, т.е. умножают, вычитают, складывают уравнения между собой до получения нужного результата.

Если в полученной системе на главной диагонали находятся неудобные коэффициенты, то к обеим частям такого уравнения прибавляют слагаемые вида с i *x i, знаки которых должны совпадать со знаками диагональных элементов.

3. Преобразование полученной системы к нормальному виду:

x - =β - +α*x -

Это можно сделать множеством способов, например, так: из первого уравнения выразить х 1 через другие неизвестные, из второго- х 2 , из третьего- х 3 и т.д. При этом используем формулы:

α ij = -(a ij / a ii)

i = b i /a ii
Следует снова убедиться, что полученная система нормального вида соответствует условию сходимости:

∑ (j=1) |α ij |≤ 1, при этом i= 1,2,...n

4. Начинаем применять, собственно, сам метод последовательных приближений.

x (0) - начальное приближение, выразим через него х (1) , далее через х (1) выразим х (2) . Общая формула а матричном виде выглядит так:

x (n) = β - +α*x (n-1)

Вычисляем, пока не достигнем требуемой точности:

max |x i (k)-x i (k+1) ≤ ε

Итак, давайте разберем на практике метод простой итерации. Пример:
Решить СЛАУ:

4,5x1-1.7x2+3.5x3=2
3.1x1+2.3x2-1.1x3=1
1.8x1+2.5x2+4.7x3=4 с точностью ε=10 -3

Посмотрим, преобладают ли по модулю диагональные элементы.

Мы видим что условию сходимости удовлетворяет лишь третье уравнение. Первое и второе преобразуем, к первому уравнению прибавим второе:

7,6x1+0.6x2+2.4x3=3

Из третьего вычтем первое:

2,7x1+4.2x2+1.2x3=2

Мы преобразовали исходную систему в равноценную:

7,6x1+0.6x2+2.4x3=3
-2,7x1+4.2x2+1.2x3=2
1.8x1+2.5x2+4.7x3=4

Теперь приведем систему к нормальному виду:

x1=0.3947-0.0789x2-0.3158x3
x2=0.4762+0.6429x1-0.2857x3
x3= 0.8511-0.383x1-0.5319x2

Проверяем сходимость итерационного процесса:

0.0789+0.3158=0,3947 ≤ 1
0.6429+0.2857=0.9286 ≤ 1
0.383+ 0.5319= 0.9149 ≤ 1 , т.е. условие выполняется.

0,3947
Начальное приближение х (0) = 0,4762
0,8511

Подставляем данные значения в уравнение нормального вида, получаем следующие значения:

0,08835
x (1) = 0,486793
0,446639

Подставляем новые значения, получаем:

0,215243
x (2) = 0,405396
0,558336

Продолжаем вычисления до того момента, пока не приблизимся к значениям, удовлетворяющим заданному условию.

x (7) = 0,441091

Проверим правильность полученных результатов:

4,5*0,1880 -1.7*0,441+3.5*0,544=2,0003
3.1*0,1880+2.3*0,441-1.1x*0,544=0,9987
1.8*0,1880+2.5*0,441+4.7*0,544=3,9977

Результаты, полученные при подстановке найденных значений в исходные уравнения, полностью удовлетворяют условиям уравнения.

Как мы видим, метод простой итерации дает довольно точные результаты, однако для решения этого уравнения нам пришлось потратить много времени и проделать громоздкие вычисления.

Задание:

1) Используя метод итераций, решить систему

2) Используя метод Ньютона, решить систему

нелинейных уравнений с точностью до 0,001.

Задание №1Используя метод итераций, решить систему нелинейных уравнений с точностью до 0,001.

Теоретическая часть.

Метод итераций э то способ численного решения математических задач. Его суть – нахождение алгоритма поиска по известному приближению (приближенному значению) искомой величины следующего, более точного приближения. Применяется в случае, когда последовательность приближений по указанному алгоритму сходится.

Данный метод называют также методом последовательных приближений, методом повторных подстановок, методом простых итераций и т.п.

Метод Ньютона , алгоритм Ньютона (также известный как метод касательных) - это итерационный численный метод нахождения корня (нуля) заданной функции. Метод был впервые предложен английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном (1643-1727). Поиск решения осуществляется путём построения последовательных приближений и основан на принципах простой итерации. Метод обладает квадратичной сходимостью. Улучшением метода является метод хорд и касательных. Также метод Ньютона может быть использован для решения задач оптимизации, в которых требуется определить нуль первой производной либо градиента в случае многомерного пространства. Обоснование

Чтобы численно решить уравнение методом простой итерации, его необходимо привести к следующей форме: , где - сжимающее отображение.

Для наилучшей сходимости метода в точке очередного приближения должно выполняться условие . Решение данного уравнения ищут в виде , тогда:

В предположении, что точка приближения «достаточно близка» к корню , и что заданная функция непрерывна , окончательная формула для такова:

С учётом этого функция определяется выражением:

Эта функция в окрестности корня осуществляет сжимающее отображение, и алгоритм нахождения численного решения уравнения сводится к итерационной процедуре вычисления:

.

Варианты заданий

№1. 1)
2)

№2. 1)
2)

№3. 1)
2)

№4. 1)
2)

№5. 1)
2)

№6. 1)
2)

№7. 1)
2)

№8. 1)
2)

№9. 1)
2)

№10.1)
2)

№11.1)
2)

№12.1)
2)

№13.1)
2)

№14.1)
2)

№15.1)
2)

№16.1)
2)

№17.1)
2)

№18.1)
2)

№19.1)
2)

№20.1)
2)

№21. 1)
2)

№22. 1)
2)

№23. 1)
2)

№24. 1)
2)

№25. 1)
2)

№26. 1)
2)

№27. 1)
2)

№28. 1)
2)

№29. 1)
2)

№30. 1)
2)

Образец выполнения задания

№1. 1)
2)

Пример решения системы нелинейных уравнений методом итераций

Перепишем данную систему в виде:

Отделение корней производим графически (рис.1). Из графика видим, что система имеет одно решение, заключенное в области D: 0<х <0,3;-2,2<y <-1,8.

Убедимся в том, что метод итераций применим для уто­чнения решения системы, для чего запишем ее в следующем виде:

Так как ,то имеем в области D

+ = ;

+ =

Таким образом, условия сходимости выполняются.

Таблица №2

п
	0,15	-2	-0,45	-0,4350	-0,4161	-0,1384
	0,1616	-2,035	-0,4384	-0,4245	-0,4477	-0,1492
	0,1508	-2.0245	-0,4492	-0,4342	-0,4382	-0,1461
	0.1539	-2,0342.	-0,4461	-0.4313	-0,4470	-0,1490
	0.1510	-2,0313	-0,4490	-0,4341	-0,4444	-0.1481
	0,1519	-2,0341	-0,4481	-0,4333	-0,4469	-0,1490
	0,1510	-2.0333	-0.449	-0,4341	-0.4462	-0,1487
	0.1513	-2.0341	-0,4487	-0,4340	-0,4469	-0.1490
	0.1510	-2,0340

За начальные приближения принимаем х о =0,15, у 0 = -2.

(таб.№2). Тогда ответ запишется:

Пример решения системы нелинейных уравнений методом Ньютона

Отделение корней производим графически (рис.2). Для построения графиков функций составим таблицу значений функций и , входящих в первое и второе уравнения (табл. I).

Значения для x можно брать исходя из следующих условий: из первого уравнения 1≤1,2х+0,4≤1 , т.е. 1,16≤х≤0,5 ; из второго уравнения , т.е. . Таким образом, .

Система имеет два решения. Уточним одно из них, принадлежащее области D: 0,4<x <0,5;

0,76<y <0,73. За начальное приближение примем Имеем:

Таблица №3

x	-1,1	-1	-0,8	-0,6	-0,2	-0,4		0,2	0,4	0,5
х 2	1.21		0,64	0,36	0,04	0,16		0,04	0.16	0,25
0,8 х 2	0,97	0,8	0,51	0,29	0,032	0,13		0,032	0,13	0,2
1 -0,8 х 2	0,03	0,2	0,49	0,71	0,97	0,87		0,97	0.87	0,8
	0,02	0,13	0,33	0,47	0,65	0,58	0,67	0,65	0,58	0.53
	±0,14	±0,36	±0,57	±0,69	±0,81	±0,76	±0,82	±0.81	±0,76	±0.73
1,2x	-1,32	-1,2	-0,9б"	-0,72	-0,24	-0,48		0,24	0,48	0,6
0,4+1,2x	-0,92	-0,8	-0,56	-0,32	0,16	-0,08	0,4	0,64	0.88
2x-y	-1.17	-0,93	-0,59	-0,33	0,16	-0,08	0,41	0,69	2.06 1,08	1,57
	-1,03	-1,07	-1,01	-0,87	-0,56	-0,72	-0,41	-0,29	-1,26 -1,28	-0.57

Уточнение корней проводим методом Ньютона:

где ; ;

;
;

Все вычисления производим по таблице 3

Таблица 3			0,10	0,017	-0,0060	0,0247	-0,0027	-0,0256	0,0001	0,0004
		0,2701	0,0440	-0,0193	0,0794	-0,0080	-0,0764	-0,0003	0,0013
		2,6197	3,2199	2,9827	3,1673
		-0,0208	-2,25	0,1615	-2,199	0,1251	-2,1249	0,1452	-2,2017
		-1,1584	0,64	-1,523	0,8	-1,4502	0,7904	-1,4904	0,7861
		0,1198	-0,0282	-0,0131	0,059	-0,0007	-0,0523	-0,0002	0,0010
		0,9988	0,0208	0,9869	-0,1615	0,9921	-0,1251	-0,9894	-0,1452
	0,55	0,733	1,6963	1,7165
		0,128	0,8438	0,2	0,8059	0,1952	0,7525	0,1931	0,8079
		0,4	0,75	0,50	-0,733	0,4940	-0,7083	0,4913	-0,7339	0,4912	-0,7335	Ответ: x ≈0,491 y ≈ 0,734
n

Контрольные вопросы

1) Представьте на графике возможные случаи решения системы двух нелинейных уравнений.

2) Сформулируйте постановку задачи о решении системы n-линейных уравнений.

3) Приведите итерационные формулы метода простой итерации в случае системы двух нелинейных уравнений.

4) Сформулируйте теорему о локальной сходимости метода Ньютона.

5) Перечислите трудности, возникающие при использовании метода Ньютона на практике.

6) Объяснить каким образом можно модифицировать метод Ньютона.

7) Изобразите в виде блок-схем алгоритм решения систем двух нелинейных уравнений методами простой итерации и Ньютона.

Лабораторная работа №3

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

СУМСКИЙ ГОСУДАСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

кафедра информатики

КУРСОВАЯ РАБОТА

ПО КУРСУ:

Численные методы

«Итерационные методы решения систем нелинейных уравнений»

1. Методы решения систем нелинейных уравнений. Общая информация

2.1 Метод простых итераций

2.2 Преобразование Эйткена

2.3 Метод Ньютона

2.3.1 Модификации метода Ньютона

2.3.2 Квазиньютоновские методы

2.4 Другие итерационные методы решения систем нелинейных уравнений

2.4.1 Метод Пикара

2.4.2 Метод градиентного спуска

2.4.3 Метод релаксаций

3. Реализация итерационных методов программно и с помощью математического пакета Maple

3.1 Метод простых итераций

3.2 Метод градиентного спуска

3.3 Метод Ньютона

3.4 Модифицированный метод Ньютона

Список использованной литературы

1. Методы решения нелинейных уравнений. Общая информация.

Пусть нам дана система уравнений, где

- некоторые нелинейные операторы: (1.1)

Она может быть также представлена в матричном виде:

(1.1)

Её решением называется такое значение

, для котрого

Очень распространенной является вычислительная задача нахождения некоторых или всех решений системы (1.1) из n нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений с n неизвестными.

Обозначим через Х вектор-столбец (х 1 , х 2 ,..., х n ) T и запишем систему уравнений в виде формулы (1.2): F (Х ) = 0, где F = (f 1 , f 2 ,..., f n ) T .

Подобные системы уравнений могут возникать непосредственно, например, при конструировании физических систем, или опосредованно. Так, к примеру, при решении задачи минимизации некоторой функции G (х )часто необходимо определить те точки, в которых градиент этой функции равен нулю. Полагая F = grad G, получаем нелинейную систему.

В отличие от систем линейных алгебраических уравнений, для решения которых могут применяться как прямые (или точные ), так и итерационные (или приближенные ) методы, решение систем нелинейных уравнений можно получить только приближенными, итерационными методами. Они позволяют получать последовательность приближений

. Если итерационный процесс сходится, то граничное значение является решением данной системы уравнений.

Для полноты представления о методах нахождения решения системы необходимо разъяснить такое понятие, как "скорость сходимости". Если для последовательности x n , сходящейся к пределу х * , верна формула

(k - положительное действительное число), то k называется скоростью сходимости данной последовательности.

2. Итерационные методы решения систем нелинейных уравнений

2.1 Метод простых итераций

Метод простых итераций (последовательных приближений) является одним из основных в вычислительной математике и применяется для решения широкого класса уравнений. Приведём описание и обоснование этого метода для систем нелинейных уравнений вида

f i (x 1 ,x 2 ,...x n) = 0, i =1,2,..n ;

Приведём систему уравнений к специальному виду:

(2.1)

Или в векторном виде

. (2.2)

Причем переход к этой системе должен быть только при условии, что

является сжимающим отображением.

Используя некоторое начальное приближение X (0) = (x 1 (0) ,x 2 (0) ,...x n (0))

построим итерационный процесс X (k+1) =  (X (k)). Расчёты продолжаются до выполнения условия

. Тогда решением системы уравнений является неподвижная точка отображения .

Проведём обоснование метода в некоторой норме

пространства .

Приведём теорему о сходимости, выполнение условий которой приводит к нахождению решения системы.

Теорема (о сходимости). Пусть

1). Вектор-функция Ф(х) определена в области

; выполняется условие

3). Справедливо неравенство

Тогда в итерационном процессе:

, – решение системы уравнений; ,

Замечание. Неравенство условия 2) есть условие Липшица для вектор -функции Ф(х) в области S с константой

(условие сжатия). Оно показывает, что Ф является оператором сжатия в области S , т. е. для уравнения (2.2) действует принцип сжатых отображений. Утверждения теоремы означают, что уравнение (2.2) имеет решение в области S , и последовательные приближения сходятся к этому решению со скоростью геометрической последовательности со знаменателем q .

Доказательство . Поскольку

, то для приближения в силу предположения 3) имеем . Это значит, что . Покажем, что , k=2,3,… причём для соседних приближений выполняется неравенство (2.3)

Будем рассуждать по индукции. При

утверждение справедливо, т.к. и . Допустим, что приближения принадлежат S, и неравенство (2.3) выполнено для . Поскольку , то для с учётом условия 2) теоремы имеем .

По индуктивному предположению

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3-4.

Вариант №5.

Цель работы: научиться решать системы нелинейных уравнений (СНУ) методом простых итераций (МПИ) и методом Ньютона с помощью ЭВМ.

1. Изучить МПИ и метод Ньютона для решения систем нелинейных уравнений.

2. На конкретном примере усвоить порядок решения систем нелинейных уравнений МПИ и методом Ньютона с помощью ЭВМ.

3. Составить программу и с ее помощью решить систему уравнений с точностью .

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Задание.

1. Аналитически решить СНУ:

2. Построить рабочие формулы МПИ и метода Ньютона для численного решения системы при начальном приближении: .

3. Составить программу на любом языке программирования, реализующую построенный итерационный процесс.

Решение.

Аналитический метод.

Аналитическим решением СНУ являются точки и .

Метод простых итераций (МПИ).

Для построения рабочих формул МПИ для численного решения системы необходимо вначале привести ее к виду:

Для этого умножим первое уравнение системы на неизвестную постоянную , второе - на , затем сложим их и добавим в обе части уравнения . Получим первое уравнение преобразуемой системы:

Неизвестные постоянные определим из достаточных условий сходимости итерационного процесса:

Запишем эти условия более подробно:

Полагая равными нулю выражения под знаком модуля, получим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) 4 порядка с 4 неизвестными :

Для решения системы необходимо вычислить частные производные :

Тогда СЛАУ запишется так:

Заметим, что если частные производные мало изменяются в окрестности начального приближения, то:

Тогда СЛАУ запишется так:

Решением этой системы являются точки , , , . Тогда рабочие формулы МПИ для решения СНУ примут вид:

Для реализации на ЭВМ рабочие формулы можно переписать так:

Итерационный процесс можно начать, задав начальное приближение x 0 =-2, y 0 =-4. Процесс заканчивается при одновременном выполнении двух условий: и . В этом случае значения и являются приближенным значением одного из решений СНУ.

Метод Ньютона.

Для построения рабочих формул метода Ньютона в виде

где , необходимо:

1. Найти матрицу частных производных:

2. Найти определитель этой матрицы:

3. Определить обратную матрицу:

Проведя преобразования:

Получаем рабочую формулу метода Ньютона для реализации на ЭВМ:

Блок-схема МПИ и метода Ньютона для решения СНУ приведена на рисунке 1.

Рис.1 Схемы МПИ и метода Ньютона.

Тексты программ:

Program P3_4; {Iterations}

uses Crt;

var n: integer;

clrscr;

xn:=x-(x-y+2)+(1/2)*(x*y-3);

yn:=y+(2/3)*(x-y+2)+(1/6)*(x*y-3);

writeln (n:3, x:9:5, xn:9:5, (xn-x):9:5, y:9:5, yn:9:5, (yn-y):9:5);

n:=n+1;

until (abs(x-zx)<=eps) and (abs(y-zy)<=eps);

readln;

2) Метод Ньютона:

Program P3_4; {Nyuton}

uses Crt;

var n: integer;

x0,x,xn,y0,y,yn,eps,zx,zy:real;

clrscr;

n:=0; x0:=-2; x:=x0; y0:=-4; y:=y0; eps:=0.001;

writeln (" n x(i) x(i+1) x(i+1)-x(i) y(i) y(i+1) y(i+1)-y(i) ");

xn:=x-(1/(x+y))*(x*x-x*y+2*x+x-y+2);

yn:=y-(1/(x+y))*(x*y*(-y)-3*(-y)+x*y-3);

writeln (n:3, x:9:5, xn:9:5, abs(xn-x):9:5, y:9:5, yn:9:5, abs(yn-y):9:5);

n:=n+1;

until (abs(x-zx)<=eps) and (abs(y-zy)<=eps);

Результаты отработки программы:

· Рис.2 – программы, работающей по методу простых итераций;

· Рис.3 – программы, работающей по методу Ньютона.

Рис.2 Ответ: х(16)≈-3.00023, у(16)≈-1.00001

Рис.3 Ответ: х(8)≈-3.00000, у(8)≈-1.00000

Решение нелинейных уравнений

Пусть требуется решить уравнение

Где
– нелинейная непрерывная функция.

Методы решения уравнений делятся на прямые и итерационные. Прямые методы – это методы, позволяющие вычислить решение по формуле (например, нахождение корней квадратного уравнения). Итерационные методы – это методы, в которых задается некоторое начальное приближение и строится сходящаяся последовательность приближений к точному решению, причем каждое последующее приближение вычисляется с использованием предыдущих

Полное решение поставленной задачи можно разделить на 3 этапа:

Установить количество, характер и расположение корней уравнения (1).

Найти приближенные значения корней, т.е. указать промежутки, в которых наудится корни (отделить корни).

Найти значение корней с требуемой точностью (уточнить корни).

Существуют различные графические и аналитические методы решения первых двух задач.

Наиболее наглядный метод отделения корней уравнения (1) состоит в определении координат точек пересечения графика функции
с осью абсцисс. Абсциссы точек пересечения графика
с осью
являются корнями уравнения (1)

Промежутки изоляции корней уравнения (1) можно получить аналитически, опираясь на теоремы о свойствах функций, непрерывных на отрезке.

Если, например, функция
непрерывна на отрезке
и
, то согласно теореме Больцано – Коши, на отрезке
существует хотя бы один корень уравнения (1)(нечетное количество корней).

Если функция
удовлетворяет условиям теоремы Больцано-Коши и монотонна на этом отрезке, то на
существует только один корень уравнения (1).Таким образом, уравнение (1) имеет на
единственный корень, если выполняются условия:

Если функция на заданном интервале непрерывно дифференцируема, то можно воспользоваться следствием из теоремы Ролля, по которому между парой корней всегда находится по крайней мере одна стационарная точка. Алгоритм решения задачи в данном случае будет следующий:

Полезным средством для отделения корней является также использование теоремы Штурма.

Решение третьей задачи осуществляется различными итерационными (численными) методами: методом дихотомии, методом простой итерации, методом Ньютона, методом хорд и т.д.

Пример Решим уравнение
методом простой итерации . Зададим
. Построим график функции.

На графике видно, что корень нашего уравнения принадлежит отрезку
, т.е.
– отрезок изоляции корня нашего уравнения. Проверим это аналитически, т.е. выполнение условий (2):

Напомним, что исходное уравнение (1) в методе простой итерации преобразуется к виду
и итерации осуществляются по формуле:

(3)

Выполнение расчетов по формуле (3) называется одной итерацией. Итерации прекращаются, когда выполняется условие
, где - абсолютная погрешность нахождения корня, или
, где -относительная погрешность.

Метод простой итерации сходится, если выполняется условие
для
. Выбором функции
в формуле (3) для итераций можно влиять на сходимость метода. В простейшем случае
со знаком плюс или минус.

На практике часто выражают
непосредственно из уравнения (1). Если не выполняется условие сходимости, преобразуют его к виду (3) и подбирают. Представим наше уравнение в виде
(выразим x из уравнения). Проверим условие сходимости метода:

для
. Обратите внимание, что условие сходимости выполняется не
, поэтому мы и берем отрезок изоляции корня
. Попутно заметим, что при представлении нашего уравнения в виде
, не выполняется условие сходимости метода:
на отрезке
. На графике видно, что
возрастает быстрее, чем функция
­­ (|tg| угла наклона касательной к
на отрезке
)

Выберем
. Организуем итерации по формуле:

Программно организуем процесс итераций с заданной точностью:

> fv:=proc(f1,x0,eps)

> k:=0:

x:=x1+1:

while abs(x1-x)> eps do

x1:=f1(x):

print(evalf(x1,8)):

print(abs(x1-x)):

:printf("Кол. итер.=%d ",k):

end :

На 19 итерации мы получили корень нашего уравнения

c абсолютной погрешностью

Решим наше уравнение методом Ньютона . Итерации в методе Ньютона осуществляются по формуле:

Метод Ньютона можно рассматривать как метод простой итерации с функцией, тогда условие сходимости метода Ньютона запишется в виде:

.

В нашем обозначении
и условие сходимости выполняется на отрезке
, что видно на графике:

Напомним, что метод Ньютона сходится с квадратичной скоростью и начальное приближение должно быть выбрано достаточно близко к корню. Произведем вычисления:
, начальное приближение, . Организуем итерации по формуле:

Программно организуем процесс итераций с заданной точностью. На 4 итерации получим корень уравнения

с
Мы рассмотрели методы решения нелинейных уравнений на примере кубических уравнений, естественно, этими методами решаются различные виды нелинейных уравнений. Например, решая уравнение

методом Ньютона с
, находим корень уравнения на [-1,5;-1]:

Задание : Решить нелинейные уравнения с точностью

0.

деления отрезка пополам (дихотомии)

простой итерации.

Ньютона (касательных)

секущих – хорд.

Варианты заданий рассчитываются следующим образом: номер по списку делится на 5 (
), целая часть соответствует номеру уравнения, остаток – номеру метода.